“古今中外的人们是如何进行乘法竖式计算”史料整理              

早在古埃及纸草书（大约在3000年之前）上就记载着一种乘法——倍乘法，但它还不具有现代笔算乘法的形式。所谓倍乘法就是逐次扩大2倍的方法。我们以现代为例来说明（见图1）。例如：32×13=416 

      以上方法中乘数13可以分解成1+4+8，并在左列1，4，8的左侧作上标记，把右侧的对应的积相加，即可算得32×13的结果了。到了1564年，我们仍然可以从德国数学家施蒂费尔的著作中看到这种算法的痕迹。以42×31=1302为例（见图2），倍乘法很好理解，但是如果倍数比较大时，写起来就比较麻烦了。 与现在竖式乘法相仿的最早形式是中国的筹算乘法。其中筹算乘法分为三层，以上位、中位和下位为序分别为：乘数、积和被乘数。先用乘数的最高位上的数去乘被乘数，乘完后去掉这位的算筹。再用乘数的次高位去乘被乘数，同样，乘好后去掉相应位的算筹，两次之积对应位上的数相加，以此类推，乘完为止。图3至图5展示了32×13=416的计算过程。计算时把多位数变成一位数去乘多位数，乘一位加一位。计算原理和我们现在惯用的竖式乘法完全一致，只是计算和书写的顺序有所差别。

        （图3）             （图4）              （图5）　　

综上我们可以看出，古代中国的乘法运算的书写形式与现代竖式乘法的形式还是有较大的差别的，然而古代印度著名的数学家、天文学家婆什迦罗（1114-1185？）大约在900多年之前给出了一种乘法运算形式，小学数学论文后来被意大利数学家帕乔利（1445-1517？）在他的著作《算术、几何、比与比例集成》（1494）中载述，此种方法已经有了现在竖式乘法的雏形。例如175×times;13=2275的计算，书中给出了图6和图7两种运算形式，如下：                                         

                     （图6）                    （图7）

这两种算法的书写形式和我们现在的竖式乘法比较接近，但从计算顺序和写法上还是有差别的。从图7中可以看出，在计算时是把多位的被乘数进行拆分，再用乘数去乘被乘数的每一位上的数字，也就是先用被乘数的最高位上的数字去乘乘数13，得13，再用次高位上的数字7去乘13，…，依次下去，再把所得的积右错位相加。但根据乘法符合交换率，因此其中的运算原理也易于理解。而图8的算法是用被乘数去乘乘数的每一位，同样从乘数的最高位算起，这种算法和中国古代的算法原理相同，最后右错位相加。

             （图8）                       （图9）　　

随着人们对乘法算法的进一步研究，到了文艺复兴时期，便出现了与现代的竖式乘法最接近的形式。此种形式最早也是被记载在帕乔利的《算术、几何、比与比例集成》（1494）中，例如175×13，见上图9：这种形式与现代竖式乘法（图10）的写法略有差异，但计算顺序和计算原理是完全相同的。

         （图10）                        （图11）

　同时大家可以发现，从古埃及到文艺复兴时期，在乘法的发展过程中一直没有乘号“×”的身影。那是因为乘号从早期用语言描述到有现代的符号同样经过了许多年的发展，到17世纪后“×”才作为乘法符号被广泛使用。其实在乘法的演进过程中，还出现了一些比较新颖的乘法式。例如，Gelosia Method方法。此方法最早出现在印度人的著作中，后来传到阿拉伯、欧洲和中国。回教数学家阿尔卡西 (？-1429 )在著作《算数者之钥》中详细探讨了此方法。此方法指的是：运用画方格图，并且在每一方格中画上对角线以进行乘法运算的方法，它有两种呈现方式，即对角线斜左(图10)与斜右（图11）,其算法原理是相似的，对角线斜左更简洁一些。

 明代程大位 (1533-1606) 所著作《算法统宗》(1592) 中，称Gelosia Method这种先画格眼的算法为「铺地锦」，在《算法统宗》中谈到了“写算”，也就是“铺地锦”。这是一种在事先画好的格子上进行笔算的方法。这种方法曾在印度、阿拉伯和欧洲广为流行，大约在15世纪传入我国。因为写算的结果，数字密密麻麻排列有序犹如锦缎，所以人们就把它称作“铺地锦”。 程大位喜欢用歌诀的形式表述算法。

没有中国的九九乘法表，英国人利用“划线数点”的方法进行乘法计算：